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趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值論文
摘要：趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提出許多新的數(shù)學見解。同時，他的數(shù)學思想及方法對中國整個數(shù)學體系的形成及發(fā)展都有著重要的作用。
關鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家，同時也是中國歷史上著名的天文學家，他大約生活在 3 世紀，生卒不詳。他在數(shù)學上的成就主要表現(xiàn)為對勾股定理簡潔的證明，重差術的理論，一元二次方程的求解及根與系數(shù)的關系四個方面的貢獻。2 世紀，趙爽開始深入研究《周髀算經(jīng)》，該書是中國歷史上最古老的天文學著作，其中就有對“勾股圓方圖”的注釋，總結出中國古代的勾股定理，這是對中國數(shù)學史的巨大貢獻。另外，趙爽還在此基礎上進行了創(chuàng)新，提出了新的證明公式。趙爽在數(shù)學方面的成就主要體現(xiàn)其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡單實用，至今仍在沿用。趙爽還創(chuàng)造出世界上最早的求根公式，并對《九章算術》中的分數(shù)計算方法上升到理論高度，創(chuàng)立了“齊同術”,足見稱其為數(shù)學宗師是非常恰當?shù)摹?/p>
一、趙爽數(shù)學思想產(chǎn)生的社會背景。
1.來源于人類實踐活動的數(shù)學思想。趙爽在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，勾股之所由生也。”這就說明，大禹治水時期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產(chǎn)生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數(shù)學家歐弟姆斯對幾何學的產(chǎn)生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發(fā)現(xiàn)的，是在測量土地的過程中產(chǎn)生的，因為那時候的尼羅河泛濫成災，經(jīng)常沖毀良田，這種幾何學的測量技術是必要的�！盵1]17所以，幾何學起源于土地測量，一般從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說，數(shù)學是根據(jù)人的需要產(chǎn)生的，是從丈量土地面積、計算器具容積中產(chǎn)生的，是一種有目的改造客觀世界的活動中產(chǎn)生的。所以，趙爽的數(shù)學思想也來源于實際，以滿足于客觀世界的需要。
2.吳國推行發(fā)展教育的文教政策。根據(jù)史料考證，趙爽為三國時期吳國人，由于當時吳國為戰(zhàn)事需要采取了一系列發(fā)展生產(chǎn)的措施，使得社會經(jīng)濟有了較大的進步。同時，在思想及文學領域也出現(xiàn)了秦漢以來前所未有的局面，其中數(shù)學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發(fā)展數(shù)學教育的文教政策，孫權于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學諸子”.永安二年，孫休推行教學為先的政策“,道世冶性，為時養(yǎng)器”.當時吳國推行的這些教育建國，培養(yǎng)人才的措施，極大推進了社會的發(fā)展及經(jīng)濟的繁榮。當時，吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古，瑜厚之，使百人受業(yè)，遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行并沒多久，但當時確實出現(xiàn)許多的數(shù)學及天文人才，如陳馳善九章術，與漢代許商、王柔并稱。除官學之外，吳國也非常流行私學，如“虞凡講學不倦，門徒數(shù)百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術，熱愛教學工作，對教育事業(yè)全心投入，《周髀算經(jīng)注》中就有“后學之徒知數(shù)皆然”[2]73.
二、趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值。
1.“數(shù)形”與“歸納、演繹”統(tǒng)一的思想。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中提到“:數(shù)之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之數(shù)，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之數(shù)，以制其法。物有方圓，數(shù)有奇偶，天動為圓其數(shù)奇，地靜為方其數(shù)偶�！彼�，趙爽的天地之形含有幾何方面的內容，同時，數(shù)之法出于圓方也含有代數(shù)思想。就是說，通過數(shù)的計算，著重考察圖形中數(shù)的關系，通過得出的數(shù)值來解決實際生活問題。同時，也可以通過“形”的直觀解決數(shù)的算法，這就將數(shù)形完美結合在一起。其實，數(shù)與形的結合并不是偶然產(chǎn)生的，中國作為一個農(nóng)業(yè)大國，在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關于面積、體積的問題，如用代數(shù)方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上，數(shù)與形并不是完全分開的，在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯(lián)系起來。趙爽的《周髀算經(jīng)注》便體現(xiàn)這種數(shù)形統(tǒng)一的思想。
歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結論，而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數(shù)學思想中包含歸納、演繹統(tǒng)一的思想，在其《周髀算經(jīng)》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達。”這里的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣�！盵3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以，趙爽在數(shù)學研究中將歸納與演繹兩者統(tǒng)一起來“,勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以，驗證數(shù)學命題的真?zhèn)尉托枰ㄟ^演繹推理來實現(xiàn)。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數(shù)學思想�？陀^事物是不斷發(fā)生變化的，且事物的大多數(shù)性質也會發(fā)生改變，而有些性質卻相對穩(wěn)定，這就是變與不變的性質，即事物的相對穩(wěn)定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數(shù)學思維，趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”,即體形雖然有差異，但數(shù)量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來，便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發(fā)展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以后“演段法”的基礎。中國傳統(tǒng)數(shù)學的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀，國外才有關于趙爽這種“割補”方法的證明，由當時印度數(shù)學家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。
數(shù)學來源于實際并應用于實際，作為一門研究空間形式與數(shù)量關系的科學，數(shù)學有廣泛的用途。中國古代傳統(tǒng)數(shù)學是以實用為目的的，其內容大多與生產(chǎn)及生活實際相關，并廣泛用于生產(chǎn)生活各方面，這也使得中國傳統(tǒng)數(shù)學長期處于世界數(shù)學的領先地位。趙爽也有著深厚的數(shù)學實用思想，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規(guī)矩�！彼裕鞔_指出圓方的設計可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數(shù)學應用的廣泛性及其價值意義。
三、趙爽的數(shù)學成就及重要歷史貢獻。
1.《周髀算經(jīng)注》透析了數(shù)學之理。南宋數(shù)學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經(jīng)注》中詳細注解了勾股術法之妙，透析了數(shù)學教育之理。根據(jù)史料考證，趙爽曾經(jīng)深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學之術。在出入相補方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創(chuàng)立的“割補之術”.同時，他還為《九章算術》進行了注釋，并將其歸納為出入相補原理，這也成為后世“演段術”形成的重要基礎。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達定理類似的結果，并進一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關的二十多個命題。其實，趙爽還是一個未脫離體力勞動的數(shù)學家，他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經(jīng)注》。該作品大約成書于前 100 年前后，是一部關于構圖定律、分數(shù)運算的數(shù)學著作。在《周髀算經(jīng)注》中，趙爽對原作的經(jīng)文進行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡練的五百多字高度概括了《周髀算經(jīng)》的主要內容。
2.推動中國傳統(tǒng)數(shù)學思想的發(fā)展。在相當長的時間內，中國的數(shù)學長期處于世界領先地位。數(shù)學作為一門研究空間與數(shù)量關系的學科，有著現(xiàn)實的應用需要，中國傳統(tǒng)數(shù)學體系就是在此基礎上建立的，并廣泛應用于社會實際。趙爽的數(shù)學思想極大地推動了中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展，同時在傳統(tǒng)數(shù)學思想的影響下，趙爽在其《周髀算經(jīng)》的注文中多次證明了數(shù)學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實際問題，通過考察圖形中的數(shù)量關系及運算關系，就可以得到人們所需要的數(shù)值。趙爽認為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導儀驗其長短。”他將自然界看作是一個相互聯(lián)系的物質集合，并可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數(shù)學能應用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國歷代數(shù)學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方�！盵4]57這段內容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法，充分體現(xiàn)其經(jīng)世致用的實用思想。
3.數(shù)學與數(shù)學教育方面的創(chuàng)新。《周髀算經(jīng)》采用問答的形式，由此可知其屬于數(shù)學教材，而趙爽的《周髀算經(jīng)注》則屬于數(shù)學教材的指導用書，他在《周髀算經(jīng)注》中的“統(tǒng)敘群倫，裁制萬物”思想，展示其先進的數(shù)學教育思想。《周髀算經(jīng)》中有對勾股定理經(jīng)典的描述，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實”,這就將數(shù)學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發(fā)式教學模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據(jù)自己多年的數(shù)學教學經(jīng)驗，總結出數(shù)學教育的一般規(guī)律，最后達到“啟發(fā)”的效果。其實，學習是一項艱苦的智力勞動，只有學思結合才能最終完成“,不精思，不學習，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對反而不思的學習方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維�！把晕釤o隱”便是引用孔子的教學思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學”的數(shù)學教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強調要發(fā)展學生的思維，調動其學習的積極性，同時引導學生獨立思考。由此可知，趙爽不但在數(shù)學上有著極高的造詣，而且還是在數(shù)學教育上有著較高水平的數(shù)學大師。在數(shù)學教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠”思想，便是對數(shù)學學習過程及學生心理狀態(tài)的把握。他總結的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環(huán)節(jié)是一種由感性到理性的認識過程，這也是儒家學習論的核心。
參考文獻：
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