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變分法在量子力學(xué)的應(yīng)用
變分法在量子力學(xué)的應(yīng)用【1】
摘 要 在處理物理問(wèn)題及量子力學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)應(yīng)用到變分法。
變分法與處理數(shù)的函數(shù)普通微積分保持著相對(duì)立關(guān)系，屬于處理函數(shù)的一種方式。
歐拉-拉格朗日方程式是變分法最為重要的定理。
通過(guò)變分法，可以實(shí)現(xiàn)泛函臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)。
變分法的出現(xiàn)推動(dòng)了理論物理的進(jìn)一步發(fā)展，在量子力學(xué)及相應(yīng)最小作用量原理中發(fā)揮著十分重要的作用。
在概述變分法的基礎(chǔ)上，對(duì)變分法在量子力學(xué)物理領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行研究與分析。
實(shí)踐證明，在處理量子力學(xué)問(wèn)題中，變分法發(fā)揮著重要作用。
關(guān)鍵詞 變分法;量子力學(xué);最優(yōu)控制
20世紀(jì)二三十年代，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出一種可以進(jìn)行微觀粒子體系運(yùn)動(dòng)行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。
通過(guò)進(jìn)行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數(shù)，應(yīng)用體系波函數(shù)，可以確定體系性質(zhì)，此后有學(xué)者對(duì)相對(duì)論效應(yīng)狄拉克方程的確定進(jìn)行了研究。
這些研究成果的出現(xiàn)，讓人們認(rèn)為量子力學(xué)其普遍理論似乎已經(jīng)基本完成，人類已經(jīng)基本知曉了絕大部分物理學(xué)及物理定律。
解決問(wèn)題困難及關(guān)鍵僅在于如何將這些定律進(jìn)行現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。
狄拉克認(rèn)為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。
針對(duì)這種現(xiàn)象，求解其方程的近似方法不斷被研究。
在物理量子學(xué)領(lǐng)域，進(jìn)行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。
束縛定態(tài)是建立于不含時(shí)間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價(jià)性基礎(chǔ)上，能量本征值方程解是通過(guò)對(duì)能量極值的求解來(lái)完成的。
在進(jìn)行具體問(wèn)題處理的過(guò)程中，通過(guò)波函數(shù)中一些特殊變化將最普遍任意變分進(jìn)行替代，通過(guò)這種方法可以獲得依賴于波函數(shù)特殊形式的一種近似解，這種解決問(wèn)題的方法被稱之變分法。
變分法用在解決如量子力學(xué)等物理問(wèn)題領(lǐng)域。
變分法的應(yīng)用，其優(yōu)勢(shì)在于運(yùn)用變分法進(jìn)行方程求解并不會(huì)受到限制，在保證變分函數(shù)良好的基礎(chǔ)上，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)體系基態(tài)性質(zhì)的研究。
1 變分法概述
變分法與處理數(shù)函數(shù)普通微積分表現(xiàn)出相對(duì)立關(guān)系。
泛函是通過(guò)位置函數(shù)導(dǎo)數(shù)及相應(yīng)位置函數(shù)積分來(lái)實(shí)現(xiàn)相應(yīng)構(gòu)造。
變分法應(yīng)用的最終目的在于找出更好的極值函數(shù)，通過(guò)變分法，獲得泛函最大值或最小值。
歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。
通過(guò)變分法，可以獲得相應(yīng)泛函臨界點(diǎn)，在處理量子力學(xué)及其他物理問(wèn)題時(shí)應(yīng)用優(yōu)勢(shì)十分明顯。
在解決量子力學(xué)問(wèn)題時(shí)，解決微擾問(wèn)題最為廣泛的方法是應(yīng)用微擾法及變分法。
如應(yīng)用微擾法進(jìn)行量子力學(xué)問(wèn)題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。
可以分為及兩個(gè)部分，則有：
= +
在微擾法中，本征函數(shù)及本征值屬于已知，則很小，如在解決問(wèn)題時(shí)其滿足微擾法求解問(wèn)題的基本條件，則可以實(shí)現(xiàn)量子問(wèn)題求解。
然而在實(shí)際應(yīng)用中，進(jìn)行全體必要的矩陣元求和計(jì)算是十分困難的，其解決問(wèn)題存在著一定的局限性。
應(yīng)用變分法則不會(huì)受到條件限制。
如將體系哈密頓算符本征值由小到大進(jìn)行排列，其順序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
計(jì)算這些本征值對(duì)應(yīng)本征函數(shù)，則有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基態(tài)能量，Ψ0代表的是基態(tài)波函數(shù)。
為便于研究，假設(shè)與本征值En是保持對(duì)立的，本征函數(shù)Ψn組成正交歸一系，則有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，設(shè)Ψ屬于任意歸一化波函數(shù)，將公式展開(kāi)后獲得：
(4)
在進(jìn)行Ψ狀態(tài)描述時(shí)，其體系能量平均值則為：
(5)
通過(guò)公式整理，則可以獲得：
(6)
因E0代表的是基態(tài)能量，為此，則有E0 (7)
=E0屬于Ψ歸一條件，則有：
(8)
公式(8)不等式說(shuō)明，在進(jìn)行任意波函數(shù)Ψ求解時(shí)所獲得的平均值總是較之基態(tài)能量較大，在進(jìn)行Ψ平均值求解時(shí)，其中最小平均值與E0最接近。
當(dāng)Ψ作為體系中Ψ0基態(tài)波函數(shù)時(shí)，此時(shí)基態(tài)能量E0則與平均值保持一致。
由此，實(shí)現(xiàn)變分法基態(tài)能量及基態(tài)波函數(shù)體系求解。
2 量子力學(xué)變分原理
如下，為某個(gè)微觀體系薛定諤方程：
(9)
該薛定諤方程為變分問(wèn)題歐拉微分方程，其變分問(wèn)題求解則是對(duì)其能量積分進(jìn)行求解，則有：
(10)
能量積分極小值為：
(11)
將體系哈密頓量設(shè)為H，則有：
(12)
在滿足歸一化條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行公式整理，則有：
(13)
實(shí)踐證明，經(jīng)過(guò)歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時(shí)的歐拉微分方程。
以上公式，則為量子力學(xué)中變分原理。
3 變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用案例
在量子物理或經(jīng)典物理中，一維諧振子與很多物理現(xiàn)象存在較大關(guān)系，甚至可以將任何體系在穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置所進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)看作一種近似一維諧振子，如核振動(dòng)、晶體結(jié)構(gòu)離子及中原子振動(dòng)等。
本文在分析量子力學(xué)變分原理的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一維諧振子研究。
將諧振子質(zhì)量設(shè)為m，并沿x軸進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)，則諧振子所受到勢(shì)能為，可以通過(guò)以下公式進(jìn)行哈密頓量表示：
(14)
體系試探波函數(shù)為，按照歸一化條件，可以獲得。
則有：
(15)
通過(guò)公式調(diào)整，可以獲得以積分公式：
(16)
通過(guò)計(jì)算后獲得：
(17)
并獲得體系最低能量值為：
(18)
相應(yīng)函數(shù)簡(jiǎn)化后為： (19)
通過(guò)檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，這種計(jì)算結(jié)果與求解結(jié)果相同，證明所選取的變分函數(shù)良好。
圖1為典型a下線性諧振子波函數(shù)及位置幾率密度分布圖。
波函數(shù)能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。
從圖1中可以看出，波函數(shù)幾率密度分布狀況與波函數(shù)、分布曲線形狀基本保持一致。
應(yīng)用變分法所求解出的波函數(shù)幾率分布存在一定差異。
由此可以看出，應(yīng)用變分法解決量子力學(xué)問(wèn)題時(shí)，雖然其可以簡(jiǎn)單方便地進(jìn)行體系基態(tài)性質(zhì)求解，但其屬于解決問(wèn)題的近似方法，其近似程度隨著參數(shù)變化發(fā)生變化。
只有保證所選擇的波函數(shù)滿足邊界條件及歸一化條件，參數(shù)越多時(shí)，其結(jié)果越好。
變分法其應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)在于其求解過(guò)程并不受到什么限制，但其結(jié)果好壞完全是由嘗試波函數(shù)選擇來(lái)確定。
為此，在應(yīng)用結(jié)構(gòu)變分法解決物理量子力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)保證變分法所選擇的嘗試波函數(shù)的合理性及科學(xué)性。
4 結(jié)語(yǔ)
當(dāng)前，微擾法及變分法是處理物理量子力學(xué)問(wèn)題常見(jiàn)的方法。
微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數(shù)的一種方式，與處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分保持著相對(duì)立關(guān)系。
應(yīng)用變分法，可以實(shí)現(xiàn)泛函臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)。
變分法在解決物理問(wèn)題中發(fā)揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學(xué)領(lǐng)域。
本文在概述變分法的基礎(chǔ)上，對(duì)量子力學(xué)變分原理進(jìn)行分析，并通過(guò)一維諧振子對(duì)變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。
通過(guò)實(shí)踐證明，變分法在處理量子力學(xué)問(wèn)題方面具有較大優(yōu)勢(shì)，保證嘗試波函數(shù)選擇合理性，是實(shí)現(xiàn)變分法效果的關(guān)鍵。
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量子力學(xué)的新應(yīng)用【2】
摘 要:首先分析了量子力學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的影響,再詳細(xì)說(shuō)明了將量子力學(xué)應(yīng)用在計(jì)算機(jī)技術(shù)中可使量子計(jì)算機(jī)具有優(yōu)越的性質(zhì),最后介紹了未來(lái)量子計(jì)算機(jī)發(fā)展的趨勢(shì)。
關(guān)鍵詞:量子力學(xué) 量子計(jì)算機(jī)
1量子力學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的影響
自1646年第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以來(lái),其芯片發(fā)展速度日益加快。
按照芯片的摩爾定律 ,其集成度在不久的將來(lái)有望達(dá)到原子分子量級(jí)。
在享受計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展帶來(lái)的種種便利的同時(shí),我們也不得不面臨一個(gè)瓶頸問(wèn)題,即根據(jù)量子力學(xué)理論,在芯片發(fā)展到微觀集成的時(shí)候,量子效應(yīng)會(huì)影響甚至完全破壞芯片功能。
因此,量子力學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展具有決定性作用。
1.1量子力學(xué)簡(jiǎn)介
量子力學(xué)是近代自然科學(xué)的最重要的成就之一. 在量子力學(xué)的世界里,一個(gè)量子微觀體系的狀態(tài)是由一個(gè)波函數(shù)來(lái)描述的,而非由粒子的位置和動(dòng)量描述,這就是它與經(jīng)典力學(xué)最根本的區(qū)別。
1.2量子力學(xué)與量子計(jì)算機(jī)
量子力學(xué)的海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理決定了粒子的位置和動(dòng)量是不能同時(shí)確定的()。
當(dāng)計(jì)算機(jī)芯片的密度很大時(shí)(即很小)將導(dǎo)致很大,電子不再被束縛,產(chǎn)生量子干涉效應(yīng),而這種干涉效應(yīng)會(huì)完全破壞芯片的功能。
為了克服量子力學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)發(fā)展的限制,計(jì)算機(jī)的發(fā)展方向必然和量子力學(xué)相結(jié)合,這樣不僅可以越過(guò)量子力學(xué)的障礙,而且可以開(kāi)辟新的方向。
量子計(jì)算機(jī)就是以量子力學(xué)原理直接進(jìn)行計(jì)算的計(jì)算機(jī).保羅•貝尼奧夫在1981年第一次提出了制造量子計(jì)算機(jī)的理論。
量子計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)和讀寫(xiě)頭都以量子態(tài)存在的,這意味著存儲(chǔ)符號(hào)可以是0、1以及它們的疊加。
2量子計(jì)算機(jī)的優(yōu)點(diǎn)
近年來(lái)的種種試驗(yàn)表明,量子計(jì)算機(jī)的計(jì)算和分析能力都超越了經(jīng)典計(jì)算機(jī)。
它具有如此優(yōu)越的性質(zhì)正在于它的存儲(chǔ)讀取方式量子化。
對(duì)量子計(jì)算機(jī)的原理分析可知,以下兩個(gè)個(gè)特性是令量子計(jì)算機(jī)優(yōu)越性的根源所在。
2.1存儲(chǔ)量大、速度高
經(jīng)典計(jì)算機(jī)由0或1的二進(jìn)制數(shù)據(jù)位存儲(chǔ)數(shù)據(jù),而量子計(jì)算機(jī)可以用自旋或者二能級(jí)態(tài)構(gòu)造量子計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)位,即量子位。
不同于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的在0與1之間必取其一,量子位可以是0 或者1,也可以是0和l的迭加態(tài)。
因此,量子計(jì)算機(jī)的n個(gè)量子位可以同時(shí)存儲(chǔ)2n個(gè)數(shù)據(jù),遠(yuǎn)高于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的單個(gè)存儲(chǔ)能力; 另一方面量子計(jì)算機(jī)可以同時(shí)進(jìn)行多個(gè)讀取和計(jì)算,遠(yuǎn)優(yōu)于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的單次計(jì)算能力。
量子計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)讀取特性使其具有存儲(chǔ)量大、讀取計(jì)算速度高的優(yōu)點(diǎn)。
2.2可以實(shí)現(xiàn)量子平行態(tài)
由量子力學(xué)原理可知,如果體系的波函數(shù)不能是構(gòu)成該體系的粒子的波函數(shù)的乘積,則該體系的狀態(tài)就處在一個(gè)糾纏態(tài),即體系的粒子的狀態(tài)是相互糾纏在一起的。
而量子糾纏態(tài)之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)不受任何局域性假設(shè)限制,這使兩個(gè)處在糾纏態(tài)的粒子而言,不管它們離開(kāi)有多么遙遠(yuǎn),對(duì)其中一個(gè)粒子進(jìn)行作用,必然會(huì)同時(shí)影響到另外一個(gè)粒子.正是由于量子糾纏態(tài)之間的神奇的關(guān)聯(lián)效應(yīng), 使得量子計(jì)算機(jī)可以利用糾纏機(jī)制,實(shí)現(xiàn)量子平行算法,從而可以大大減少操作次數(shù)。
3量子計(jì)算機(jī)發(fā)展現(xiàn)狀和未來(lái)趨勢(shì)
3.1量子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的技術(shù)障礙
到目前為止,世界上還沒(méi)有真正意義上的量子計(jì)算機(jī),它的實(shí)現(xiàn)還有許多技術(shù)上的問(wèn)題。
量子計(jì)算機(jī)的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在量子迭加態(tài)的關(guān)聯(lián)效應(yīng). 然而,環(huán)境對(duì)迭加態(tài)的影響以及迭加態(tài)之間的相互作用會(huì)使這種關(guān)聯(lián)效應(yīng)減弱甚至喪失,即量子力學(xué)去相干效應(yīng).因此應(yīng)盡量減少環(huán)境對(duì)量子態(tài)的作用。
同時(shí),萬(wàn)一由于相干效應(yīng)引入了錯(cuò)誤信息,必需能及時(shí)改正,這需要進(jìn)一步的研究和實(shí)驗(yàn)。
另一方面,量子態(tài)不能復(fù)制,使得不能把經(jīng)典計(jì)算機(jī)中很完善的糾錯(cuò)方法直接移植到量子計(jì)算機(jī)中來(lái).由于量子計(jì)算機(jī)在計(jì)算過(guò)程中不能對(duì)量子態(tài)測(cè)量, 因?yàn)檫@種測(cè)量會(huì)改變量子態(tài), 而且這種改變是不可恢復(fù)的,因此在糾錯(cuò)方面存在很多問(wèn)題。
3.2量子計(jì)算機(jī)的現(xiàn)狀
由于上述兩種原因,現(xiàn)在還無(wú)法確定未來(lái)的量子計(jì)算機(jī)究竟是什么樣的, 目前科學(xué)家門(mén)提出了幾種方案.
第一種方案是核磁共振計(jì)算機(jī). 其原理是用自旋向上或向下表示量子位的0 和1 兩種狀態(tài),重點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)自旋狀態(tài)的控制非操作,優(yōu)點(diǎn)在于盡可能保證了量子態(tài)和環(huán)境的較好隔離。
第二種方案是離子阱計(jì)算機(jī). 其原理是將一系列自旋為1/2 的冷離子被禁錮在線性量子勢(shì)阱里, 組成一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的絕熱系統(tǒng),重點(diǎn)在于由激光來(lái)實(shí)現(xiàn)自旋翻轉(zhuǎn)的控制非操作其優(yōu)點(diǎn)在于極度減弱了去相干效應(yīng), 而且很容易在任意離子之間實(shí)現(xiàn)n 位量子門(mén)。
第三種方案是硅基半導(dǎo)體量子計(jì)算機(jī). 其原理是在高純度硅中摻雜自旋為1/2的離子實(shí)現(xiàn)存儲(chǔ)信息的量子位,重點(diǎn)在于用絕緣物質(zhì)實(shí)現(xiàn)量子態(tài)的隔絕,其優(yōu)點(diǎn)在于可以利用現(xiàn)代高效的半導(dǎo)體技術(shù)。
此外還有線性光學(xué)方案, 腔量子動(dòng)力學(xué)方案等.
3.3量子計(jì)算機(jī)的未來(lái)
隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,量子計(jì)算機(jī)也會(huì)逐漸走向現(xiàn)實(shí)研制和現(xiàn)實(shí)運(yùn)用。
量子計(jì)算機(jī)不但于未來(lái)的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展緊密相關(guān),更重要的是它與國(guó)家的保密、電子銀行、軍事和通訊等重要領(lǐng)域密切相關(guān)。
實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)是21 世紀(jì)科學(xué)技術(shù)的最重要的目標(biāo)之一。
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數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及優(yōu)勢(shì)【3】
摘要：量子力學(xué)一直以來(lái)都是高等物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
為了避免煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提高學(xué)生對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)將數(shù)值計(jì)算作為一個(gè)虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)引入到量子力學(xué)的教學(xué)中。
關(guān)鍵詞：量子力學(xué);數(shù)值計(jì)算;諧振子
一、引言
量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，與相對(duì)論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)[1]。
對(duì)于高等院校物理專業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)在基礎(chǔ)課程中占有核心地位。
通過(guò)學(xué)習(xí)量子力學(xué)，可進(jìn)一步將學(xué)生對(duì)客觀物質(zhì)世界的感性認(rèn)識(shí)提升到理性認(rèn)識(shí)。
因此，對(duì)于高校量子力學(xué)教師而言，形象、生動(dòng)的課堂教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能完善和拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識(shí)，從而提高學(xué)生的思維水平和培養(yǎng)他們的科研能力。
對(duì)于大部分初學(xué)者，除了難以理解量子力學(xué)中一些與常理相悖的知識(shí)外，煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)使很多同學(xué)對(duì)量子力學(xué)望而生畏。
如果高校教師繼續(xù)沿用傳統(tǒng)的解析推演、口述筆寫(xiě)的教學(xué)方式，將加大學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度。
此外，量子力學(xué)的授課內(nèi)容大部分屬于理論知識(shí)，受條件的限制，許多高校無(wú)法為學(xué)生開(kāi)設(shè)實(shí)驗(yàn)課程，這使得學(xué)生對(duì)抽象的量子力學(xué)現(xiàn)象缺乏客觀認(rèn)識(shí)。
隨著計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展，很多教師將一些數(shù)值計(jì)算引入到了量子力學(xué)教學(xué)中，不僅有效地規(guī)避了煩瑣的數(shù)學(xué)解析推演，而且也能作為量子力學(xué)授課的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，為學(xué)生形象地展示量子力學(xué)中的一些抽象且難以理解的量子現(xiàn)象和概念[2，3]。
因此，為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度，提高學(xué)生對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)鼓勵(lì)高校教師將計(jì)算機(jī)及數(shù)值計(jì)算搬進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué)課堂。
本文將通過(guò)具體的一些量子力學(xué)實(shí)例來(lái)說(shuō)明數(shù)值計(jì)算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)。
二、數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例
我們將以一維勢(shì)場(chǎng)中單個(gè)粒子的定態(tài)及含時(shí)演化為例來(lái)說(shuō)明數(shù)值計(jì)算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。
為了簡(jiǎn)單，我們以Matlab軟件作為數(shù)值計(jì)算的平臺(tái)。
例1：一維定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值計(jì)算
在量子力學(xué)中，描述單個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程如下：
- +Vxψx=Eψx (1)
這里我們假設(shè)m=?攸=1。
原則上，通過(guò)從定態(tài)薛定諤方程中求解出波函數(shù)ψ(x)，我們可以知道該粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的所有信息。
然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢(shì)場(chǎng)V(x)的具體形式。
對(duì)于較為簡(jiǎn)單的勢(shì)場(chǎng)，例如大家熟知的無(wú)限深勢(shì)阱及諧振子勢(shì)阱，很容易解析求解方程(1)。
相反，如果勢(shì)場(chǎng)V(x)的形式比較復(fù)雜，如周期勢(shì)或雙勢(shì)阱，則必須借助于數(shù)值計(jì)算。
因此，當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)值計(jì)算求解無(wú)限深勢(shì)阱或諧振子勢(shì)阱中的定態(tài)薛定諤方程時(shí)，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)，從而避免了煩瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
以下是基于Maltab軟件并利用虛時(shí)演化方法所編寫(xiě)的計(jì)算定態(tài)薛定諤方程的程序：
clearall
N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;
V=0.5*x.^2;%諧振子勢(shì)函數(shù)
temp=1+dxdt+dt*V;
psi=rand(1，N+1);%初始波函數(shù)
psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數(shù)
psi1=psi;
for k=1：10000000
%---------迭代法求解三對(duì)角方程---------
psi2=zeros(1，N+1);
for m=1：100000000
for j=2：N
psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);
end
emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;
ifemax<1e-8
break
end
end
psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;
ifemax<1e-6 %波函數(shù)收斂條件
break
end
end
作為例子，我們利用上述程序分別計(jì)算出諧振子和雙勢(shì)阱中的基態(tài)解。
程圖1(a)中展示了諧振子的基態(tài)解，從中可以看出，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果和精確解一致。
對(duì)于V (x)= x +ae 的雙勢(shì)阱(這里a為勢(shì)壘高度，b為勢(shì)壘寬度)，由于波函數(shù)滿足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可，其基態(tài)波函數(shù)展示在圖1(b)中。
從圖1(b)中可以看出，隨著勢(shì)壘高度的增加，粒子穿過(guò)勢(shì)壘的幾率越來(lái)越低。
由此可見(jiàn)，利用數(shù)值計(jì)算能形象地描述粒子在雙勢(shì)阱中的勢(shì)壘貫穿效應(yīng)，這降低了學(xué)生對(duì)該現(xiàn)象的理解難度，同時(shí)提高了教師的授課效率。
例2：一維含時(shí)薛定諤方程的數(shù)值計(jì)算
在量子力學(xué)中，描述單個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)V(x)中運(yùn)動(dòng)的含時(shí)薛定諤方程如下：
i =- +V(x)ψ(x，t) (2)
該方程為二階偏微分方程，對(duì)于一般形式的外勢(shì)V(x)很難嚴(yán)格求解該方程。
因此，我們借助時(shí)間劈裂傅立葉譜方法進(jìn)行數(shù)值求解，其Matlab程序代碼如下：
clearall
N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;
V=0.5*3*x.^2;
psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數(shù)
t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);
for j=1：length(t);
%---------時(shí)間劈裂譜方法求解---------
psi=ifft(F.*fft(psi));
psi=exp(-i*V*dt).*psi;
psi=ifft(F.*fft(psi));
U(j，：)=psi;
end
作為例子，我們分別選取了諧振子勢(shì)阱的基態(tài)波函數(shù)和非基態(tài)波函數(shù)作為時(shí)間演化的初始值。
從圖2中可以看到，當(dāng)初始值為基態(tài)波函數(shù)時(shí)，波包的構(gòu)型并不會(huì)隨著時(shí)間的演化而發(fā)生形變，這說(shuō)明粒子處于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的狀態(tài)。
相反，當(dāng)我們將初始波函數(shù)的波包中心稍作挪動(dòng)，則隨著時(shí)間的演化，波包將在勢(shì)阱中做周期性振蕩。
我們可以讓學(xué)生利用數(shù)值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。
此外，如果我們將初始波函數(shù)改為諧振子的激發(fā)態(tài)，并在初始時(shí)刻加上一個(gè)較小的擾動(dòng)項(xiàng)，則可利用時(shí)間演化程序證明激發(fā)態(tài)在外界的一定擾動(dòng)下而變得動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定。
因此，數(shù)值程序?yàn)槲覀兲峁┝蓑?yàn)證理論結(jié)果的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，有利于學(xué)生對(duì)抽象物理概念的理解。
三、結(jié)語(yǔ)
基于Matlab軟件，我們以量子力學(xué)中的定態(tài)和含時(shí)薛定諤方程為例來(lái)說(shuō)明數(shù)值計(jì)算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)。
數(shù)值計(jì)算不僅有效避免了煩瑣的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，而且也可當(dāng)作理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來(lái)形象地展示量子力學(xué)中一些抽象的物理現(xiàn)象。
高校教師借助于數(shù)值計(jì)算能拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識(shí)，提高他們對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們利用數(shù)值計(jì)算做一些簡(jiǎn)單的科學(xué)研究。
參考文獻(xiàn)：
[1]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷I[M].第五版.北京：科學(xué)出版社，2014.
[2]張杰.吸收介質(zhì)的Mie散射光學(xué)特性研究[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，9(4)：53.
[3]張小偉，趙華.Matlab在量子力學(xué)教學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].科技信息，2013，(24).
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