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高中數(shù)學中遞推數(shù)列通項公式的求法探討
論文摘要：數(shù)列是高中數(shù)學中很重要的內(nèi)容之一，是高考的熱點;而遞推數(shù)列又是數(shù)列的重要內(nèi)容，是高考的亮點。本文對幾類常見的遞推數(shù)列求通項問題進行了探討。
關鍵詞：數(shù)列;遞推數(shù)列;通項公式
數(shù)列是高中數(shù)學中很重要的內(nèi)容之一，是高考的熱點，而遞推數(shù)列又是數(shù)列的重要內(nèi)容，是高考的亮點，在近幾年的高考中，縱觀各地高考數(shù)學試題，“遞推數(shù)列”幾乎為必考題，且多以“把關題”的姿態(tài)出現(xiàn)。特別是2008年高考中，全國19套文理試卷中共有30多道數(shù)列問題，其中遞推數(shù)列有20多道。數(shù)列中蘊含著豐富的數(shù)學思想，而遞推數(shù)列的通項問題具有很強的邏輯性，是考查邏輯推理和化歸能力的好素材，既可考查等價轉化與化歸這一數(shù)學思想，又能反映考生對等差與等比數(shù)列理解的深度，具有一定的技巧性。因此經(jīng)常滲透在高考試題和競賽中。本文對幾類常見的遞推數(shù)列求通項問題作一些探求，希望對大家有所啟發(fā)。
求遞推數(shù)列通項的常見方法有：1.猜——證;2.累加、累乘;3.迭代法;4.構造法(轉化為等差、等比數(shù)列)。
引例：已知數(shù)列{an}滿足：①已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1-an=2，求通項 an= ;②已知數(shù)列{an}中，a1=1，，求通項 an= 。
以此題為背景，考試命題常見有這樣幾種變化思路：
思路一：將常數(shù)“2”變?yōu)殛P于n的函數(shù)f(n)，即：an+1-an=f(n)，型。
例如： ①(2008江西)：已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an + ，則an=( A )。
A . 2+lnn B. 2+(n-1) lnn C. 2+ nlnn D. 1+ nlnn
解析：法一：驗證法;
法二：整體代換變?yōu)?
法三：累加法。。
②已知數(shù)列{an}中，a1=1，，求通項 an= 。
解析：法一：累積法可得an=n;
法二：迭代法;
法三：。
規(guī)律總結：an+1-an=f(n)型常用(累加 )法，型常用(累乘)法。
思路二：在 ② 中 等價于，在此式的右邊+，即
變式1：(2006年重慶)：已知數(shù)列{an}中a1=1，，求an= 。
解析：法一：觀察，在“=”兩邊同+3得到;
法二：在用累加法;
法三：待定系數(shù)法可得，所以數(shù)列是以a1+3=4為首項。
公比為2的等比數(shù)列即an+3=(a1+3)·
又如這個例子：某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的，并且每年新增汽車數(shù)均為萬輛。求年后汽車的保有量。
解析：從200
1年起，該市每年末汽車保有量依次記為(單位：萬輛)，則可以得到數(shù)列。
依題意，當時，， �、�
設，即， �、�
�、�，②比較，得，故，
則數(shù)列是首項為，公比為0.94的等比數(shù)列，
所以，
即。
變式2：已知數(shù)列{an}中，a1=1，，求an= 。
解析：(轉化為等差數(shù)列)以首項，1為公差的等差數(shù)列， ∴。
變式3：已知數(shù)列{an}中a1=1，，求an= 。
法一：由得到轉化為型;
法二：(待定系數(shù)法)以為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴。
變式4：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，，求= 。
法一：，轉化為型，先求，再用累加求得;
法二：(待定系數(shù)法)設
，
令，∴。
規(guī)律總結：(1)遞推關系為(A≠1，A、B≠0)型，可設;
(2)形如型，可設;
(3)型，可設;
(4)(A≠0)型可設。
思路三：在 ② 中等價于，在此式的右邊+
例：已知數(shù)列{an}中，a1=1，，求an= 。
又如(2008年陜西卷22)：已知數(shù)列的首項，，，求的通項。
規(guī)律總結：即從而轉化為遞推關系為型。
思路四：在 ② 中 等價于，在此式的右邊+3
例：已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2， (n≥2)求an= 。
法一：觀察可得：;
法二：待定系數(shù)法：
請看(2011年高考重慶題)：設a1=1，a2=， 求an。
=+++……++1=
規(guī)律總結：形如型，一般設
思路五：將 ② 中等價于，再將其變式為將怎樣處理?
例(2006年山東)：已知數(shù)列{an}中，a1=1，。
思路六：將①中—”和②“除”變?yōu)?ldquo;+”和“乘“。
例如：①已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1+an=2，求通項an= 。
�、谝阎獢�(shù)列{an}中，a1=1，an+1an=2，，求通項 an= 。
總之，遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數(shù)學歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。因此，仔細辨析遞推關系式的特征，準確選擇恰當?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾椆降年P鍵。
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