歸納法的應用
摘 要：數(shù)學歸納法是證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種數(shù)學推理方法，是一種形式獨特的完全歸納推理，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用.本文指出了數(shù)學歸納法的理論依據(jù)——佩亞諾()的歸納公理，討論了數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用，并指出了使用數(shù)學歸納法時的注意點.
關鍵詞：數(shù)學歸納法;應用;
數(shù)學歸納法是一種常用的證明方法，在不少數(shù)學問題的證明中，它都有著其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有著廣泛的前景.本文先簡單闡述數(shù)學歸納法的理論依據(jù)，然后通過一些具有例子討論數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用，最后簡單敘述數(shù)學歸納法在應用中需要注意的問題.
歸納法和演繹法都是重要的數(shù)學方法.歸納法中的完全歸納法是邏輯方法;不完全歸納法是非邏輯方法，只適用于數(shù)學發(fā)現(xiàn)思維，不適用于數(shù)學嚴格證明.
數(shù)學歸納法既不是歸納法，也不是演繹法，是一種遞歸推理，其理論依據(jù)是佩亞諾公理Ⅰ―Ⅴ中的歸納公理：
�、�.存在一個自然數(shù)0∈N;
Ⅱ.每個自然數(shù)a有一個后繼元素d，如果d是a的后繼元素，則a叫做d的生成元素;
�、�.自然數(shù)0無生成元素;
�、�.如果d=b′，則a=b;
�、�.(歸納公理)自然數(shù)集N的每個子集M，如果M含有0，并且含有M內(nèi)每個元素的后繼元素，則M=N.
數(shù)學歸納法作為一種證明方法有著廣泛的應用，它不僅可以用來證明與自然數(shù)有關的初等數(shù)學問題，而且還可以解決高等數(shù)學、幾何學、離散數(shù)學、概率論甚至物理、生物、計算機等方面的有關問題.在用數(shù)學歸納法解決以上問題時，能大大降低問題的復雜性，同時能找出相應的遞推關系.下面結(jié)合具體例子討論數(shù)學歸納法在整除、不等式、數(shù)列等問題中的應用.
1數(shù)學歸納法在整除問題的應用
整除問題都可以用數(shù)學歸納法來解決，用數(shù)學歸納法證明整除問題時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式整除，這是數(shù)學歸納法證明整數(shù)的整除性問題的一個技巧.
例1 求證：n3+5n(n∈N+)能被6整除.
證 (1)當n=1時，13+5×1=6能被6整除，命題成立.
(2)假設n=k時，命題成立，即k3+5k能被6整除.
當n=k+1時，有(k+1)3+5(k+1)=(k3+3k2+3k+1)+(5k+1)
=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
因為兩個連續(xù)的正整數(shù)的乘積k(k+1)是偶數(shù)，所以3k(k+1)能被6整除.
從而(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除，即當n=k+1時命題也成立.
根據(jù)數(shù)學歸納法知，對一切正整數(shù)命題都成立.
2數(shù)學歸納法在不等式問題的應用
用數(shù)學歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k時不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明.
例2 設ai>0(i=1，2，…，n)，且a1+a2+…+an=1.
求證：a21+a22+…+a2n?1n(n?2).
證(1)當n=2時，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.
又a21+a22?2a1a2，所以a1+a2?12.
(2)假設當n=k時命題成立，即在a1+a2+…+ak且a>0(i=1，2，…，k)的條件下有a21+a22+…+a2k?1k.
則當n=k+1時，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0 故1-ak+1>0滿足歸納假a21+a22+…+a2k?1k設所應滿足的條件，所以(a11-ak+1)2+(a21-ak+1)2+…+(ak1-ak+1)2?1k.
即 a21+a22+…+a2k?(1-ak+1)2k
a21+a22+…+a2k+ak+12?(1-ak+1)2k+ak+12.
因為(1-ak+1)2k+ak+12-1k+1=(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1k(k+1)
=1k(k+1)[(k+1)ak+1-1]2?0
所以a21+a22+…+a2k+ak+12?1k+1.
根據(jù)數(shù)學歸納法，原命題對大于的自然數(shù)都成立.
3數(shù)學歸納法在數(shù)列問題的應用
例3 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對于所有的自然數(shù)n，都有Snn(a1+an)2，證明{an}是等差數(shù)列.
證設a2-a1=d，假設an=a1+(n-1)d.
當n=1時，an=an，所以當n=1時假設成立.
當n=2時，a1+(2-1)d=a2，所以當a=2時假設成立.
假設當n=k(k?2)時，假設也成立，即：ak=a1+(n-1)d.
當n=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(a1+ak+1)2-k(a1+ak)2.
將ak=a1(k-1)d 代入上式，得到
2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)-2ka1-k(k-1)d
整理得 (k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d.
因為k?2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1時假設成立.
根據(jù)數(shù)學歸納法可知，對所有的自然數(shù)n，都有an=a1+(n-1)d，從而{an}是等差數(shù)列.
本題是將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化成證明數(shù)學恒等式關于自然數(shù)n成立的問題.在證明過程中ak+1的得出是本題解答的關鍵，利用了已知的等式Sn=n(a1+an)2，數(shù)列中通項與前n項和的關系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假設成立的式子ak=a1+(k-1)d中解出ak+1.另外本題注意的一點是不能忽視驗證n=1、n=2的正確性.因為，由(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d得到ak+1=a1+kd的k?2.所以，用數(shù)學歸納法證明時遞推的基礎是n=2時等式成立.
數(shù)學歸納法主要是針對一些自然數(shù)的相關命題，所以在證明和自然數(shù)n有關的式子中有著不可替代的作用，對于一些和自然數(shù)有關的長式子、繁式子都有化長為短、化繁為簡的功效.當然在使用數(shù)學歸納法時要注意：第一，證明的兩個步驟缺一不可.第一步是歸納法的基礎，第二步是歸納法的傳遞.尤其不可忽視第一步的驗證;第二，第二步在證明T(n+1)為真時，一定要用到歸納假設，即要把“T(n)為真，推出T(n+1)為真”或由“T(n0)，T(n0+1)，…，T(k-1)為真，推出T(k)為真”的實質(zhì)蘊含真正體現(xiàn)出來，否則不是數(shù)學歸納法證明;第三，并不是凡與自然數(shù)相關的命題T(n)都能用數(shù)學歸納法給以證明的.
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