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計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型參數(shù)估計(jì)方法論文
摘要：計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的參數(shù)估計(jì)是實(shí)證經(jīng)濟(jì)分析的關(guān)鍵，其在建模技術(shù)中處于核心的地位。估計(jì)模型參數(shù)屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)估計(jì)內(nèi)容。常用的估計(jì)方法主要包括最小二剩法、極大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法和貝葉斯估計(jì)法等。而這些方法的應(yīng)用，取決于計(jì)算機(jī)及其軟件的編程。利用 R 軟件可以很容易的實(shí)現(xiàn)對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)，不論是線性模型，還是非線性模型，主要使用 lm、glm 和 nls等幾個(gè)命令函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。
關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)建模；參數(shù)估計(jì)；經(jīng)濟(jì)參數(shù)；R的使用。
一位朋友獲得到了一筆意想不到的獎(jiǎng)金，于是計(jì)劃著買一件觀注已久的名貴消費(fèi)品。而同事同樣也得到了一筆工資之外的收入，他卻將這筆錢用于了投資。用經(jīng)濟(jì)學(xué)的術(shù)語(yǔ)就是前者的消費(fèi)傾向很高，而后者的消費(fèi)傾向較低。然而一個(gè)地區(qū)的消費(fèi)傾向，應(yīng)該是該地所有居住者的平均消費(fèi)傾向。它往往反映著該地區(qū)的生活水平和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的程度，是人們比較關(guān)心的話題。
這類信息又不可能直接調(diào)查獲得，因?yàn)槟男┦杖胧切略龅模约皞�(gè)人之間的傾向差異較大，抽樣的代表性很難保證。所以此類信息的獲得主要是通過(guò)模型測(cè)算的，即以觀測(cè)得到的消費(fèi)為被解釋變量，收入為解釋變量來(lái)構(gòu)建回歸方程，其回歸系數(shù)就是收入的邊際消費(fèi)傾向。在經(jīng)濟(jì)模型的各構(gòu)成要件中，參數(shù)是用來(lái)表述具體經(jīng)濟(jì)關(guān)系的重要因素，如消費(fèi)傾向就是收入決定消費(fèi)模型中最重要的經(jīng)濟(jì)參數(shù)。在現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)觀察中，人們較易觀測(cè)到收入和消費(fèi)支出的數(shù)據(jù)，卻很難直接觀測(cè)到消費(fèi)傾向的數(shù)據(jù)，因此我們通過(guò)建模來(lái)推算。而這種對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行推算的過(guò)程，常被稱為模型的估算。
一、經(jīng)濟(jì)參數(shù)估計(jì)及主要方法。
經(jīng)濟(jì)模型是用來(lái)描繪經(jīng)濟(jì)關(guān)系方程式或方程組，在經(jīng)濟(jì)模型中的各種變量是我們看得到的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，模型中的每一個(gè)方程都表述著各變量之間的經(jīng)濟(jì)關(guān)聯(lián)。而變量之間精確關(guān)系的規(guī)律性反映，主要是由模型中伴隨著變量存在的參數(shù)來(lái)承擔(dān)的。既然是規(guī)律性的東西，就是固定不變的。所以建立模型的過(guò)程也就是通過(guò)變量和方程式的變化觀察，來(lái)尋找不變的經(jīng)濟(jì)參數(shù)的過(guò)程。為此采用統(tǒng)計(jì)回歸的方法來(lái)探求模型參數(shù)的作法最為常見(jiàn)，即依據(jù)人們已有的經(jīng)驗(yàn)或理論成果設(shè)定出回歸方程的形式，結(jié)合一定數(shù)量的統(tǒng)計(jì)觀察來(lái)估算出回歸方程的具體參數(shù)的過(guò)程。這種估算的具體方法，主要有如下幾種：
1、最小二乘估計(jì)法。
在給定一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）前提下，即我們能夠看到經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象 X（如收入等影響因素，X可以是一個(gè)變量構(gòu)成的向量，也可以是由多個(gè)變量構(gòu)成的矩陣）和 Y（如消費(fèi)等被影響因素）的變化過(guò)程。且初步認(rèn)定兩者關(guān)系的回歸方程為Y贊i=（fB,Xi）時(shí)，其中Y贊i是被解釋變量 Yi的回歸擬合值，該方程表明 Yi的變化取決于 Xi的作用，其作用程度就是穩(wěn)定的 B值（B 為列向量）。要得到該理想的回歸方程，就要選擇一系列適合的 B 值，以使實(shí)際的 Yi與回歸測(cè)算的Y贊i之間的差距（即殘差）達(dá)到最小。由于數(shù)值殘差有正負(fù)之分，即使差距很大時(shí)也能保證殘差之和為零，這樣依據(jù)殘差的分析很難得到控制殘差的目的。而將各殘差的平方和達(dá)到最小的約束控制，卻具有唯一性的特點(diǎn)，是求解控制參數(shù)的理想目標(biāo)。這種以樣本觀察值與回歸估計(jì)值之差的平方和達(dá)到最小約束的參數(shù)求解方法，就叫做最小二乘法。其一般表達(dá)式為：
這種以殘差 ei的平方和達(dá)到最小為目標(biāo)的求得 B中各元素 bk的常規(guī)作法，就是將 B 向量中的各個(gè)元素bk都看作是變量，而將 X 和 Y 看作是常量，求多項(xiàng)式∑[Yi- （fB,Xi）]^2關(guān)于 bk的偏導(dǎo)數(shù)式并令其為零，從而可以形成一個(gè)由參數(shù)個(gè)數(shù)決定方程個(gè)數(shù)的方程組，而該方程組的解就是回歸方程的經(jīng)濟(jì)參數(shù)解。
2、極大似然估計(jì)法。
極大似然估計(jì)方法也是依靠樣本的信息，對(duì)總體的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的常規(guī)方法。只是它適合于總體概率分布的類型已知，但分布的具體參數(shù)未知時(shí)使用。它是以我們得到的樣本在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)的概率達(dá)到最大為依據(jù)進(jìn)行的參數(shù)估計(jì)，即樣本各單位同時(shí)出現(xiàn)的似然函數(shù)達(dá)到最大時(shí)的參數(shù)為估計(jì)的結(jié)果。
與最小二乘估計(jì)相比，它的約束條件不是樣本的殘差最小，而是樣本產(chǎn)生的概率最大。其基本原理就是將 n 組數(shù)據(jù)構(gòu)成的樣本觀察值中的每一組 X 和 Y 都分別代入到回歸方程中，并將這 n 個(gè)方程式視為同時(shí)發(fā)生事件，即以各個(gè)方程發(fā)生的概率函數(shù)的連乘積來(lái)構(gòu)建該樣本發(fā)生的概率函數(shù)，并稱之為似然函數(shù)。而極大似然估計(jì)法就是以該似然函數(shù)取極大值為約束來(lái)求解經(jīng)濟(jì)參數(shù)的。
當(dāng)總體的概率分布已知時(shí)，才能使用極大似然估計(jì)。即不同的概率分布，似然估計(jì)的結(jié)果會(huì)有很大的差異。由于在模型估算中人們對(duì)總體方程的概率分布往往是未知的，應(yīng)用極大似然估計(jì)受到了一定的限制。不過(guò)依據(jù)概率論中的中心極限定理，大樣本下一般的總體都服從正態(tài)分布。所以依據(jù)正態(tài)分布的估算也很常見(jiàn)，即人們經(jīng)常假定總體分布是正態(tài)的，并在該假設(shè)前提下應(yīng)用極大似然估計(jì)方法。具體步驟如下：首先，利用總體的概率分布函數(shù) n 維乘積得到似然函數(shù)；其次，將似然函數(shù)中的自變量看作是常量，而將參數(shù)看作是自變量，先對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，并令該導(dǎo)數(shù)為零，求得使似然函數(shù)最大的估計(jì)量；最后，將樣本數(shù)據(jù)代入到似然估計(jì)量的計(jì)算式中，得到極大似然法的參數(shù)估計(jì)值。
3、廣義矩估計(jì)法。
矩函數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的指標(biāo)函數(shù)，即變量值的 k次乘方的平均值就叫 k 階原點(diǎn)矩。而變量與其均值的離差的 k 次乘方的平均值，就叫 k 階中心矩。矩函數(shù)則是將原點(diǎn)矩、中心矩、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等一系列特殊統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以一個(gè)統(tǒng)一的一般形式表達(dá)的函數(shù)。矩估計(jì)方法是統(tǒng)計(jì)估計(jì)的常用方法，其基本思想就是以樣本的矩函數(shù)來(lái)代表總體矩函數(shù)的過(guò)程。由于回歸方程的估計(jì)是為了使殘差達(dá)到最小的估計(jì)過(guò)程，所以借助于這一思想，對(duì)各回歸系數(shù)的估算考慮如下：
首先，關(guān)于回歸方程誤差的矩函數(shù)可以表述為ε=Y- Xβ，該誤差列向量實(shí)質(zhì)上是在 X 給定的條件下，各組觀察值偏離回歸值的程度，即以總體回歸方程為中心的實(shí)際偏離。而該離差的期望值就是在 X 給定條件下的總體一階中心矩，隨著 X 的條件不同，以該距離為核心的函數(shù)表達(dá)式就是一階中心矩函數(shù)。
其次，以樣本的參數(shù)估計(jì)量代替總體參數(shù)，并形成樣本的矩函數(shù)，有∑ei=i（‘Y- XB）=0,根據(jù)該方程組可以求解出各參數(shù)的估計(jì)值 B,但是該方程組存在著能否識(shí)別的問(wèn)題。在方程的個(gè)數(shù)等于未知參數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，有可能求解，或稱之謂恰好識(shí)別。但是矩估計(jì)是依據(jù)大數(shù)定律進(jìn)行的，它要求對(duì)總體觀察的樣本數(shù)量要盡可能大。而在大樣本時(shí)，即樣本容量為 n 組觀察值，則可以建立 n 個(gè)方程。即當(dāng) n≥K+1 時(shí)，方程組常是過(guò)度識(shí)別的。解決這種過(guò)度識(shí)別的方法就是將各組數(shù)據(jù)都參與各參數(shù)的估算，只是估算的結(jié)果以 X 為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)平均。該過(guò)程就是將上式中的單位向量 i,換為矩陣 X的簡(jiǎn)單過(guò)程。即 X'Y- X'XB=0,所以就有了 X'Y=X'XB.在 X為確定的變量觀察值時(shí)，線性回歸方程的參數(shù)估算公式將為 B=（X'X）- 1X'Y.人們將這種過(guò)度識(shí)別的，并采取加權(quán)方式進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程稱之謂廣義矩估計(jì)。
4、貝葉斯估計(jì)法。
概率論中著名的貝葉斯分式，也叫后驗(yàn)概率公式。它所描述的是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)樣本信息的觀察，來(lái)修正對(duì)該事物的先前認(rèn)知。在經(jīng)濟(jì)研究中，研究者對(duì)研究對(duì)象都有初步的認(rèn)識(shí)。這類樣本之外的信息，在上述的各種估計(jì)方法中都被忽略了。從信息充分利用的原則出發(fā)，在考慮先前信息的條件下，通過(guò)樣本信息的修正，來(lái)測(cè)算研究對(duì)象的真實(shí)概率分布。有了真實(shí)的概率分布，才能得到準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)。這就是貝葉斯估計(jì)的基本特點(diǎn)，它較其他方法更接近現(xiàn)實(shí)，利用的信息更系統(tǒng)。
二、模型估計(jì)量的質(zhì)量評(píng)價(jià)。
采用不同的方法對(duì)方程求解所估算的結(jié)果常有不同，因此需要一定的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)各種方法的科學(xué)性，高斯和馬爾科夫的研究認(rèn)為具有線性、無(wú)偏性、有效性的估算方法是最佳的。在放寬條件時(shí)，達(dá)到一致性的要求也就是較好的估計(jì)了。其具體含義如下：
1、線性。
線性是指估計(jì)量 B 與研究對(duì)象 Y 是線性的關(guān)系，它表明在解釋變量確定時(shí)，經(jīng)濟(jì)參數(shù)的改變會(huì)引起被解釋變量的確定性改變。
2、無(wú)偏性。
無(wú)偏性是指經(jīng)濟(jì)參數(shù)估計(jì)的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值，即對(duì)于參數(shù)的估計(jì)量有 E（B）=β。
3、有效性。
在所有的無(wú)偏估計(jì)中，方差最小者為有效，即對(duì)于任意的無(wú)偏估計(jì)量 G 與有效的無(wú)偏估計(jì)量 B 必有 Var（G）≥Va（rB），即 B較任意的G更具有效性。
4、大樣本下的一致性。
一致性是指樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，樣本估計(jì)量是否依較大的概率收斂于總體參數(shù)的真值。具體表現(xiàn)為漸近無(wú)偏性和漸近有效性。漸近無(wú)偏性是指樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，樣本估計(jì)量如果能趨于總體經(jīng)濟(jì)參數(shù)時(shí)，則稱之謂具有漸近無(wú)偏性的統(tǒng)計(jì)估計(jì)量；而漸近有效性是指樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，樣本估計(jì)量如果是所有的一致估計(jì)量中方差趨于最小者，則稱之為漸近有效的估計(jì)。
前面所學(xué)習(xí)過(guò)的各類估計(jì)方法所得到的估計(jì)量，都能滿足這些性質(zhì)的要求。且在大樣正態(tài)分布的總體假設(shè)下，最小二乘法、極大似然估計(jì)法和廣義矩估計(jì)法所得到的線性估計(jì)的結(jié)果是相同的。同時(shí)也可以證明三種方法都是線性無(wú)偏的一致有效的最佳估計(jì)量。
三、回歸方程估算程序。
不論是前述的哪種估計(jì)方法，要實(shí)現(xiàn)其估算操作，都需要編制計(jì)算機(jī)的程序軟件。而成熟的程序軟件很多，大致可以分為兩類，一類是隱藏內(nèi)碼的軟件商品，如 SAS、SPSS、STAT、MATLAB 等一系列公司開(kāi)發(fā)的商品軟件。另一類是開(kāi)放內(nèi)碼的，公益性開(kāi)原軟件，如 R軟件。
在 R 程序中提供了一系列很方便使用的估算函數(shù)。主要內(nèi)容介紹如下：
1、線性回歸模型的估算程序。
使用 R 軟件求解線性回歸方程是非常方便的，求解中可以對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)命令為 1m（模型公式，數(shù)據(jù)…）；對(duì)該函數(shù)的各參數(shù)說(shuō)明如下：
（1）模型公式：
被解釋變量 ~ 解釋變量 1+ 解釋變量 2+…+ 解釋變量 K（注：公式中加入“0”項(xiàng)時(shí)為無(wú)截距的方程）。數(shù)據(jù)：為內(nèi)存中的向量或數(shù)據(jù)框中的數(shù)據(jù)。如果是內(nèi)存中的數(shù)據(jù)對(duì)象，則該項(xiàng)可以省略。如果是數(shù)據(jù)框中的數(shù)據(jù)，則要在該項(xiàng)中指明數(shù)據(jù)框。
（2）參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。
如果要進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，則需要在點(diǎn)估算的基礎(chǔ)上，并將其存入回歸對(duì)象后，可以使用如下命令做區(qū)間估計(jì)：confin（tobject,parm,level=0.95,…）；各參數(shù)意義如下：object:指回歸估算的結(jié)果對(duì)象名；parm:指定區(qū)間估計(jì)的參數(shù)列表，默認(rèn)時(shí)為全部；level:估計(jì)的把握程度，默認(rèn)時(shí)為 95%.
2、回歸對(duì)象可以讀取的其他信息。
在回歸的程序中還包含著殘差和回歸值等若干信息，需要時(shí)可以采用如下讀取方法：
（1）殘差項(xiàng)數(shù)據(jù)。
使用“回歸對(duì)象$resid”就可以獲得回歸對(duì)象中的殘差信息，或者使用 residuals（回歸對(duì)象）讀取殘差；使用 rstandard（回歸對(duì)象）函數(shù)計(jì)算獲得標(biāo)準(zhǔn)殘差；使用rstudent （回歸對(duì)象） 函數(shù)來(lái)計(jì)算獲得學(xué)生化的標(biāo)準(zhǔn)殘差。
（2）預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)。
對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸的估計(jì)值也可以觀察到，即使用“回歸對(duì)象$fitted.values”,或使用 predic（t回歸對(duì)象）函數(shù)進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)。
（3）回歸對(duì)象中的其他常用信息。
對(duì)回歸對(duì)象可以使用如下命令可獲得一些回歸分析的有用信息：
①回歸對(duì)象$df:獲得回歸的自由度；
�、诨貧w對(duì)象$coef或 coef（回歸對(duì)象）：獲得回歸系數(shù)估計(jì)值；
�、踠ogLik（回歸對(duì)象）：獲得回歸的自然對(duì)數(shù)似然統(tǒng)計(jì)量；
�、躹cov（回歸對(duì)象）：獲得回歸系數(shù)的方差-協(xié)方差矩陣。
利用這些信息可以進(jìn)一步測(cè)算更多的有關(guān)回歸分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)，并將其繪制成圖，以直觀反映這些特征。
3、非線性回歸的估計(jì)方法。
一個(gè)現(xiàn)象的數(shù)量可隨另一個(gè)現(xiàn)象而改變，但是改變的量是非固定的常數(shù)，反映這種關(guān)系的模型就是非線性模型。對(duì)于非線性模型的參數(shù)估計(jì)，基本上可以分為如下兩種情況：
（1）可線性化的模型。
主要采取變量置換和取對(duì)數(shù)這兩種處理方式，將非線性摸型轉(zhuǎn)化為線性模型，然后再利用線性模型的求解方法進(jìn)行求解，或者采取廣義線性程序來(lái)求解。在R 中廣義線性程序?yàn)?glm（線性公式，模型方法選擇，數(shù)據(jù)源）；其中各參數(shù)使用方法如下：線性公式 formula:公式的列示方法與前述相同。模型方法選擇 family:是選擇特定的分布等類型（默認(rèn)時(shí)是正態(tài)分布模型，即與 lm函數(shù)相同），如選擇 family=binomial 時(shí)，是二項(xiàng)選擇模型，其默認(rèn)方法是 Logit 模型；而要選擇 Probit 模型時(shí)，就要使用 family=binomia（llink=probit）來(lái)表達(dá)。數(shù)據(jù)框data:指定公式和模型中使用的數(shù)據(jù)來(lái)源。
（2）無(wú)法線性化的模型。
回歸方程無(wú)法進(jìn)行線性化時(shí)，由于多數(shù)非線性方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至是不可能的。為此，牛頓在 17 世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上，近似求解方程的方法，簡(jiǎn)稱牛頓迭代法（Newton's method）。該方法的基本思想是：先給一組參數(shù)估計(jì)的初始值（如線性解 B），在 B 處做泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)有 （fX,β）=（fX,β）+[α（fX,β）/αβ]（β-B）；設(shè) D=α（fX,B）/αB為 K 階列向量，則有 （fX,β）=（fX,B）+D（β- B）則原模型可表述為 Y=（fX,B）- DB+Dβ+ε；進(jìn)一步設(shè) Y- f（X,B）+DB=y;則有線性化的模型 y=Dβ+ε；對(duì)該線性模型可以求得關(guān)于 β 的線性最小二乘解 C.該解 C在形式上是變量替換后的最小二乘法或極大似然法的線性解，實(shí)質(zhì)上是其非線性近似解。如果將該 C解做為初始解，重新進(jìn)行上述變換和求解過(guò)程，則可以得到更加近似的迭代解。如果將該迭代過(guò)程循環(huán)進(jìn)行下去，就會(huì)使迭代解逐漸的趨近理想的估計(jì)值，不過(guò)這一過(guò)程需要依靠計(jì)算機(jī)程序來(lái)完成。在 R 中的非線性求解程序?yàn)?nls （formula,data,start,control,algorithm,trace,subset,weights, na.action,,…）；各參數(shù)說(shuō)明如下：formula 表示似然函數(shù)或回歸方程的公式；data 表示樣本數(shù)據(jù)框，可以是數(shù)據(jù)列單，不可使用矩陣；start 表示初始的參數(shù)值；control 表示控制列表可選項(xiàng)；algorithm 表示線性部分設(shè)定；trace 表示顯示打印設(shè)置；subset 表示指定擬合數(shù)據(jù)子集；weights 表示指定加權(quán)最小二乘的權(quán)重；na.action 表示缺損數(shù)據(jù)的處理等。注意：使用 nls 采用同一數(shù)據(jù)系統(tǒng)，求解線性方程所得到的結(jié)果與 lm 函數(shù)相同。同時(shí)，對(duì)于特殊的非線性問(wèn)題，R 軟件中還提供了一些求極值的函數(shù)，如單一參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)函數(shù) optimize（），多參數(shù)的牛頓迭代似然估計(jì)函數(shù) nlm（），通用極值函數(shù) optim（）等，都可以使用，具體用法可參見(jiàn)在線幫助。
參考文獻(xiàn)：
王濤《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》科學(xué)出版社 2015/6.
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